Родился 15 октября 1929 г. в с. Хумалаг Правобережного района Северной Осетии.В 1938 году его отец был незаконно репрессирован и спустя несколько лет скончался в местах заключения, посмертно реабилитирован. В 1952 году А.Х.Галазов окончил Северо-Осетинский государственный педагогический институт. В 1952-1958 годах работал учителем русского языка и литературы и завучем в Хумалагской средней школе. В 1958-1959 годах являлся инспектором школ Министерства просвещения Северо-Осетинской ССР. В 1959 - 1960 годах занимал должность директора института усовершенствования учителей. С 1960 года ? инструктор Северо-Осетинского обкома КПСС по вопросам образования. С 1961 по 1975 годы занимал пост министра просвещения Северо-Осетинской АССР. В 1974 году в Научно-исследовательском институте общей педагогики Академии педагогический наук СССР защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по теме "Организационно-педагогические проблемы осуществления всеобщего среднего образования в национальной республике. (На опыте Северо-Осетинской АССР)". В 1975-1976 годах был заместителем председателя Совмина Северо-Осетинской АССР. В 1976?1990 годах ? ректор Северо-Осетинского государственного университета им. К.Л.Хетагурова. В 1990-ноябре 1991 года занимал посты первого секретаря северо-осетинского райкома КПСС и председателя Верховного Совета Северной Осетии. В 1990-91 годах был членом ЦК КПСС. Избирался народным депутатом РСФСР (1990?1993 гг.).
С приходом к власти ГКЧП в августе 1991 г. объявил о введении чрезвычайного положения в республике, создал Республиканский комитет по чрезвычайному положению. После поражения ГКЧП в Верховном Совете Северной Осетии обсуждалось предложение об отставке Галазова, но оно не было принято.
В ходе вооруженного конфликта в Южной Осетии санкционировал оказание ей гуманитарной помощи. Старался не предпринимать активных действий, направленных на блокаду Грузии, до тех пор, пока блокада не стала устанавливаться по инициативе снизу. Выступал за мирное решение вопроса о статусе Южной Осетии. По его мнению, должен быть признан суверенитет республик Южная Осетия, Абхазия, Аджария в составе грузинской федерации.
В развязывании ингушско-осетинского конфликта в 1992 г. обвинил ингушских национал-экстремистов. Выступал против выхода Северной Осетии из РФ, хотя в свое время заявлял о возможности ее объединения с Южной Осетией и создания нового государства -Алании.
В ноябре 1993 года был выдвинут кандидатом в депутаты Совета Федерации. На выборах выступал в качестве независимого кандидата. Всего в округе баллотировалось 4 кандидата. В голосовании приняли участие 61,26 % зарегистрированных избирателей. Галазов победил, набрав 53,54% голосов. А.Х.Галазов входил в состав Совета Федерации как первого, так и второго созывов.
В январе 1994 года А.Х.Галазов был избран первым президентом Республики Северная Осетия. Он занимал этот пост до 1998 года.
Продолжает заниматься общественно-политической деятельностью. До самого недавнего времени входил в политсовет партии "Единство".
Имеет государственные награды.
Женат, имеет двоих сыновей и дочь.